御制厯象考成后编卷一

半径一

    千万为一率甲角六十度

    之正?八六六○二五四

    为二率丙甲三三八○○

    ○为三率求得四率二九

    二七一六【小余五九】为丙癸垂

    线又以半径一千万为一

    率甲角六十度之余?五

    ○○○○○○为二率丙

    甲边为三率求得四率一

    六九○○○为甲癸分边

    次以丙癸为勾自乘以甲

    癸与甲壬丙壬两边和二

    千万相减余一九八三一

    ○○○为股?和除之得

    四三二○【小余六六】为股?较

    与股?和相加折半得九

    九一七六六○【小余三三】为丙

    壬边与二千万相减余一

    ○○八二三三九【小余六七】为

    甲壬边即太阳距地心线

    次以半径一千万为一率

    甲角六十度之正?八六

    六○二五四为二率甲壬

    边为三率求得四率八七

    三一五六二【小余二五】即壬子

    边次以撱圆小径九九九

    八五七一【小余八五】为一率大

    径一千万为二率壬子边

    为三率求得四率八七三

    二八○九【小余四二】即丑子边

    检正?得六十度五十分

    三十一秒【小余八三】即乙角度

    亦即己丑弧度次以半周

    天一百八十度化作六十

    四万八千秒为一率半周

    率三一四一五九二六【小余

    五】为二率乙角度分化作

    二十一万九千零三十一

    秒【小余八三】为三率求得四率

    一○六一八九六二【小余七六

    六一一一九】为已丑弧线与已

    乙半径一千万相乗折半

    得五三○九四八一三八

    三○五五九为乙丑已分

    平圆面积次以撱圆大径

    一千万为一率小径九九

    九八五七一【小余八五】为二率

    乙丑己积为三率求得四

    率五三○八七二三一○

    九四七二二为乙壬已分

    撱圆面积次以甲乙一六

    九○○○与壬子八七三

    一五六二【小余二五】相乗折半

    得七三七八一七○一○

    一二五为壬乙甲三角积

    与乙壬己积相加得五三

    八二五○四八一○四八

    四七即甲壬己分撱圆面

    积以一度之面积定率八

    七二五三九九九五二二

    九除之得六十一度六八

    七七【小余七二】收作六十一度

    四十一分一十五秒五十

    八微即实行距最髙后六

    十度时之平行度也若设

    平行求实行亦可以所得

    之平行转相比例然必累

    求累较方得恰合【一率两设平行

    较二率两设实行较三率今设平行较四率今求实

    行较】法属繁难故兹不载

    次设以积求角之法如太

    阳在辛甲辛丁分撱圆面

    积为平行距最卑后一度

    求甲角实行若干度分法

    以甲丁最卑距地心九八

    三一○○○【乙丁一千万减甲乙两心

    差一六九○○○余甲丁】自乗得九六

    六四八五六一○○○○

    ○○为一率中率半径九

    九九九二八六自乗得九

    九九八五七一八四八○

    一九一【即大径与小径相乗之数】为二

    率甲辛丁一度之面积八

    七二五三九九九五二二

    九为三率求得四率九○

    二六六七七四二○○三

    以一度之面积八七二五

    三九九九五二二九除之

    得一度二分四秒【小余三○】为

    甲角度即平行距最卑后

    一度时之实行度也盖以

    甲为心以中率为半径作

    弧将甲丁线引长至壬甲

    辛线引长至癸则甲壬甲

    癸皆为中率甲壬癸分平

    圆面积与一度之面积为

    比例即得甲角而甲辛丁

    分撱圆面与甲壬癸分平

    圆面为同式形【甲辛长于甲丁然为

    数无多故为同式形】以甲丁自乗正

    方积与甲壬自乗正方积

    之比即同于甲辛丁积与

    甲壬癸积之比【凡同式形两面积之

    比同于相当界所作正方形之比见几何原本八卷

    第九节】故先比例得甲壬癸

    积以一度之面积除之而

    得甲角也【捷法以甲丁自乗方积除甲壬

    自乗方积即得甲角盖以一度面积为三率与二率

    相乗又以一度面积除今省一乗则并省一除也】又如太阳在子甲子丁分

    撱圆面积为平行距最卑

    后二度求子甲丁角实行

    若干度分则先求平行距

    最卑后一度时日距地心

    之甲辛线将甲辛线引长

    至丑自丙作丙丑垂线成

    甲丑丙辛丑丙两勾股形

    以半径一千万为一率甲

    角一度二分四秒【小余三○】之

    正?一八○五四九【小余五五】为二率甲丙边三三八○

    ○○为三率求得四率六

    一○二【小余五七】为丙丑边又

    以半径一千万为一率甲

    角一度二分四秒【小余三○】之

    余?九九九八三七○【小余

    一三】为二率甲丙边为三率

    求得四率三三七九四四

    【小余九一】为甲丑边乃以丙丑

    为勾自乗以甲丑与丙辛

    甲辛两边和二千万相加

    得二○三三七九四四【小余

    九一】为股?和除之得一【小余

    八三】为股?较与股?和相

    加折半得一○一六八九

    七三【小余三七】为辛丙?与丙

    辛甲辛两边和二千万相

    减余九八三一○二六【小余

    六三】为甲辛日距地心线次

    以甲辛子形与甲癸寅形

    为比例以甲辛边自乗得

    九六六四九○八四五九

    九七六九为一率甲癸中

    率自乗得九九九八五七

    一八四八○一九一为二

    率甲子辛一度之面积八

    七二五三九九九五二二

    九为三率求得四率九○

    二六六二八五一七六九

    为甲癸寅分平圆面积以

    一度之面积除之得一度

    二分四秒【小余二八】即癸甲寅

    角与先得之癸甲壬角一

    度二分四秒【小余三○】相加得

    二度四分八秒【小余五八】为子

    甲丁角即平行距最卑后

    二度时之实行度也此所

    求之实行用求积法反求

    之少半秒强因日距地心

    线自最卑丁以渐而长中

    距戊为适中至最髙巳而

    止今所用一率微小故所

    得四率微大若每分递算

    自得密合然须逐一先求

    日距地心线若积度多者

    则须合前法而兼用之故

    又设后法

    次设借积求积之法如平

    行距最卑后四十五度求

    实行若干度分先从本天

    心设辛乙丁角为四十五

    度则乙壬丁积即为分撱

    圆四十五度之面积三九

    二六四二九九七八五二

    九二【将撱圆全积八分之得乙壬丁积数】求

    得壬乙丁角为四十四度

    五十九分四十五秒【小余二七

    法见前】次与乙壬平行作丙

    癸线使丙角与壬乙丁角

    等自甲至癸作甲癸线此

    甲癸线所截甲癸丁分撱

    圆面积若与乙壬丁积等

    则癸甲丁角即为平行距

    最卑后四十五度之实行

    度乃用甲丙癸三角形求

    癸甲丁角以半径一千万

    为一率丙角正?七○七

    ○五六二【小余七六】为二率甲

    丙三三八○○○为三率

    求得四率二三八九八五

    【小余○二】为甲子垂线又以半

    径一千万为一率丙角余

    ?七○七一五七二【小余七七】为二率甲丙边为三率求

    得四率二三九○一九【小余

    一六】为丙子分边次以甲子

    为勾自乗以丙子与丙癸

    甲癸两边和二千万相减

    余一九七六○九八○【小余

    八四】为股?和除之得二八

    九○【小余二三】为股?较与股

    ?和相加得一九七六三

    八七一【小余○七】折半得九八

    八一九三五【小余五四】为甲癸

    边次以甲癸边为一率甲

    子垂线为二率半径一千

    万为三率求得四率二四

    一八四○【小余二九】检正?得

    一度二十三分八秒【小余七九】即癸角度与丙角相加得

    四十六度二十二分五十

    四秒【小余○六】即癸甲丁角度

    【用切线分外角法得数较捷因癸角度小比例得甲

    癸线难得确凖故用垂线法】然甲癸线

    所截甲癸丁分撱圆面积

    比所设乙壬丁四十五度

    之面积小一甲乙丑积与

    寅壬癸积等【甲癸丁积比乙壬丁积多

    一卯壬癸积少一甲乙卯积而甲乙与寅癸等甲卯

    与卯癸等乙卯与卯寅等卯壬与卯丑等故甲乙卯

    积与寅癸卯积等卯壬癸积与卯甲丑积等以多补

    少尚少一甲乙丑积与寅壬癸积相等也】乃用

    前角求积法以半径一千

    万为一率甲角四十六度

    二十二分五十四秒【小余○六】之正?七二三九五一三

    【小余六○】为二率甲癸边为三

    率求得四率七一五四○

    四○【小余六七】即癸辰边次以

    撱圆小半径九九九八五

    七一【小余八五】为一率大半径

    一千万为二率癸辰边为

    三率求得四率七一五五

    ○六二【小余五二】即己辰边检

    正?得四十五度四十一

    分四秒【小余九四】即巳乙丁角

    度亦即巳丁弧度次以半

    周天一百八十度化作六

    十四万八千秒为一率半

    周率三一四一五九二六

    【小余五】为二率巳丁弧度分

    化作一十六万四千四百

    六十四秒【小余九四】为三率求

    得四率七九七三四八五

    【小余二八八三七四八】为巳丁弧线

    与半径一千万相乗折半

    得三九八六七四二六四

    四一八七四为乙巳丁分

    平圆面积次以撱圆大半

    径一千万为一率小半径

    九九九八五七一【小余八五】为

    二率乙巳丁分平圆面积

    为三率求得四率三九八

    六一七三二七七五三六

    七为乙癸丁分撱圆面积

    内减所设乙壬丁分撱圆

    四十五度之面积余五九

    七四三二九九○○七五

    为乙癸壬积次以癸辰边

    七一五四○四○【小余六七】与

    癸寅边一六九○○○相

    乗折半得六○四五一六

    四三六六一五为乙癸寅

    积内减乙癸壬积余七○

    八三四四六五四○为寅

    壬癸积与甲乙丑积等即

    甲癸丁积小于乙壬丁积

    之较【或于乙癸丁积内先减甲乙癸积得甲癸

    丁积再与乙壬丁积相减得数亦同】夫甲癸

    丁积既小于乙壬丁积则

    是甲癸丁积不足四十五

    度而平行距最卑后四十

    五度时太阳必仍在癸?

    之前如午则甲癸午积与

    寅壬癸积等甲午丁为分

    撱圆四十五度之面积与

    乙壬丁积等实行午甲丁

    角比癸甲丁角尚大一午

    甲癸角乃用前积求角法

    将甲癸线引长至未甲午

    线引长至申甲未甲申皆

    为中率半径成甲未申分

    平圆面与甲癸午为同式

    形以甲癸自乗得九七六

    五二六五○○一六七一

    五为一率甲未中率自乗

    得九九九八五七一八四

    八○一九一为二率甲癸

    午积七○八三四四六五

    四○为三率求得四率七

    二五二六八○七一六为

    甲未申积以撱圆一秒之

    面积二四二三七二二二

    一除之得二十九秒【小余九二】为未甲申角【即癸甲午角】与癸

    甲丁角四十六度二十二

    分五十四秒【小余○六】相加得

    四十六度二十三分二十

    三秒【小余九八】为午甲丁角即

    平行距最卑后四十五度

    时之实行度也此法乃合

    前二法而兼用之而午甲

    癸角止三十秒甲癸甲午

    二线相差无多得数为密

    其所以先设辛乙丁角为

    四十五度乙壬丁积为四

    十五度而求壬乙丁角以

    为丙角者第借积以比其

    大小耳究之撱圆面积逐

    度皆有成数原不待求且

    先求壬乙丁角为丙角而

    求甲癸丁积又与所设之

    乙壬丁积相差不逺则并

    先求壬乙丁角亦属可省

    详后法

    又法迳设丙角为四十五

    度依前法求得甲癸线九

    八八一九四四【小余二八】癸甲

    丁角四十六度二十三分

    九秒【小余一四】甲癸丁积三九

    二六○七九四六七九三

    四八与四十五度撱圆积

    三九二六四二九九七八

    五二九二相减余三五○

    五一○五九四四为甲癸

    丁积小于四十五度平行

    积之较即知平行四十五

    度时太阳在癸?之前如

    午乃以甲癸自乘得九七

    六五二八二二七五三○

    二五为一率中率自乘方

    九九九八五七一八四八

    ○一九一为二率积较为

    三率【即甲癸午积】求得四率三

    五八八八四一八四一为

    甲未申分平圆面积以一

    秒之面积二四二三七二

    二二一除之得一十四秒

    【小余八一】为未甲申角【即癸甲午角】与癸甲丁角四十六度二

    十三分九秒【小余一四】相加得

    午甲丁角为四十六度二

    十三分二十三秒【小余九五】即

    平行距最卑后四十五度

    时之实行度此法得数与

    前同而即以平行积度为

    丙角较前法为省便也

    又如平行距最卑后九十

    度求实行若干度分则先

    设丙角为九十度作丙丑

    甲丑二线成甲丙丑勾股

    形依法求得甲丑线一○

    ○○二八五六【小余一】丑甲

    丁角九十一度五十六分

    一十一秒【小余○九】甲丑丁积

    七八五二八七六○一八

    三六九五与九十度撱圆

    积七八五二八五九九五

    七○五八四相减余一六

    ○六一三一一一为甲丑

    丁积大于九十度平行积

    之较即知平行九十度时

    太阳在丑?之后如卯乃

    依中率半径截甲卯线于

    辰截甲丑线于巳成甲辰

    巳分平圆面与甲卯丑为

    同式形以甲丑自乘得一

    ○○○五七一三○一五

    七三○七为一率中率自

    乘方九九九八五七一八

    四八○一九一为二率积

    较为三率【即丑甲卯积】求得四

    率一六○四九八四八○

    为甲辰巳分平圆面积以

    一秒之面积二四二三七

    二二二一除之得百分秒

    之六六为辰甲已角【即丑甲卯

    角】与丑甲丁角九十一度

    五十六分一十一秒【小余○九】相减余九十一度五十六

    分一十秒【小余四三】为卯甲丁

    角即平行距最卑后九十

    度时之实行度也

    又如平行距最卑后一百

    二十度求实行若干度分

    则先设丙角为一百二十

    度作丙寅甲寅二线成甲

    丙寅三角形依法求得甲

    寅线一○○八六六二四

    【小余一三】寅甲丁角一百二十

    一度三十九分四十六秒

    【小余六九】甲寅丁积一○四七

    ○七九九○六四九五○

    六与一百二十度之撱圆

    积一○四七○四七九九

    四二七四四六相减余三

    一九一二二二○六○为

    甲寅丁积大于一百二十

    度平行积之较即知平行

    一百二十度时太阳在寅

    ?之后如辰乃依中率半

    径截甲寅线于巳截甲辰

    线于午成甲巳午分平圆

    面与甲寅辰为同式形以

    甲寅边自乘得一○一七

    三九九八六三三九八九

    八为一率中率自乘方九

    九九八五七一八四八○

    一九一为二率积较为三

    率【即甲寅辰积】求得四率三一

    三六一九七八九一为甲

    已午积以一秒之面积二

    四二三七二二二一除之

    得一十二秒【小余九四】为巳甲

    午角【即寅甲辰角】与寅甲丁角

    一百二十一度三十九分

    四十六秒【小余六九】相减余一

    百二十一度三十九分三

    十三秒【小余七五】为辰甲丁角

    即平行距最卑后一百二

    十度时之实行度也右借

    积求积之法最为精密而

    理亦易晓然须乗除比例

    十数次推算则属繁难故

    又设后法

    次设借角求角之法如太

    阳平行距最卑后四十五

    度求实行若干度分先从

    本天心设丁乙辛角为四

    十五度则乙壬丁分撱圆

    面积亦为四十五度次将

    丁乙辛角加癸乙子撱圆

    差角【九十度以内大一撱圆差角九十度以外

    小一撱圆差角解见后】以撱圆小半

    径九九九八五七一【小余八五】为一率大半径一千万为

    二率所设丁乙辛角四十

    五度之正切一千万为三

    率求得四率一○○○一

    四二八【小余三五】为丁乙癸角

    之正切检表得四十五度

    ○分一十四秒【小余七三】即丁

    乙癸角度次与乙癸平行

    作丙丑线自甲作甲丑线

    则丙角与丁乙癸角等而

    甲丑丁积为分撱圆四十

    五度之面积与乙壬丁积

    等是为平行丑甲丁角即

    为实行乃将丙丑线引长

    至寅使丑寅与甲丑等则

    丙寅为二千万【甲丑丙丑共二千万

    丑寅既与甲丑等故丙寅亦二千万】又自甲

    至寅作甲寅线成甲寅丙

    三角形用切线分外角法

    求得寅角四十一分三十

    四秒【小余七四】倍之得一度二

    十三分九秒【小余四九】即甲丙

    丑形之丑角度【甲丑寅形之丑角以

    甲丑丙角为外角与甲寅二内角等丑寅既与甲丑

    等则甲角必与寅角等故倍寅角即得甲丑丙角】与丙角四十五度○分一

    十四秒【小余七三】相加得四十

    六度二十三分二十四秒

    【小余二二】为丑甲丁角度【丑甲丁角

    为丑甲丙角之外角与丙丑二内角等故以丑角与

    丙角相加得丑甲丁角】即平行距最

    卑后四十五度时之实行

    度也然则何以设丙角比

    平行积度大一撱圆差角

    而甲丑丁积即与平行积

    度相等也盖与丙丑平行

    之乙癸线截本天于卯所

    截之乙卯丁积比甲丑丁

    积多一甲乙巳形【乙卯丁积比甲

    丑丁积少一辰丑卯形多一甲乙辰形辰丑与甲辰

    等辰卯与己辰等辰丑卯积与辰甲巳积等以多补

    少尚多一甲乙巳积也】此甲乙巳形

    之积与癸午倍撱圆差乘

    乙未余?折半之乙癸午

    三角形积等【癸子辛壬皆撱圆差而辛

    壬防小于癸子子午又微小于辛壬然为数无多故

    谓癸午为倍差】亦即与乙卯壬积

    等【以卯癸子补子壬午弧内弧外所差无多故谓

    相等】夫乙卯丁积比乙壬丁

    积多一乙卯壬形比甲丑

    丁积多一甲乙巳形甲乙

    已积既与乙卯壬积等则

    甲丑丁积必与乙壬丁积

    等而乙壬丁为分撱圆四

    十五度之面积辛乙丁角

    为四十五度之角癸乙丁

    角比辛乙丁角原大一撱

    圆差角丑丙丁角又原与

    癸乙丁角等故设丙角比

    平行积大一撱圆差角而

    甲丑线所截撱圆积即与

    平行积相等也然则又何

    以知甲乙巳积与乙癸午

    积相等也试以乙丁大半

    径作乙丁申酉正方形又

    以乙戊小半径作乙戊戌

    亥正方形两积相减余酉

    申丁亥戌戊磬折形积与

    两心差自乘之甲乙干坎

    正方积等【乙丁与甲戊等为?乙戊为股

    甲乙为勾股?两方相减与勾方等】斜分而

    半之则乙甲坎勾股积即

    与酉申戌戊斜尖长方积

    等而申艮倍撱圆差与酉

    申相乘折半之乙申艮三

    角积原与酉申震戊长方

    积等【乙申艮三角形与酉申震戊长方形同以

    酉申为髙而申艮为申震之一倍以申艮与酉申相

    乘折半得乙申艮三角积故与酉申震戊长方积等】比酉申戌戊斜尖长方积

    仅多申震戌一小勾股积

    则借乙申艮三角积为与

    乙甲坎勾股积相等可也

    又以方为斜截丁辛弧为

    四十五度乙辛与乙丁等

    辛巽为四十五度之正?

    辛离为四十五度之余?

    依乙戊小径截乙辛线于

    坤依乙甲两心差截乙辛

    线于兑与辛巽平行作坤

    亢兑氐二线与辛离平行

    作坤房兑尾二线所成正

    方各为前图正方积之一

    半则于离辛巽乙正方形

    内减房坤亢乙正方形余

    离辛巽亢坤房磬折形积

    亦与乙尾兑氐正方积等

    乙兑氐勾股积亦与离辛

    坤房斜尖长方积等而辛

    箕倍撱圆差乘辛离余?

    折半之乙辛箕三角积原

    与离辛壬房长方积等【辛壬

    为四十五度之撱圆差辛箕为倍差与辛离余?相

    乗折半得乙辛箕积故与离辛壬房长方积等】比

    离辛坤房斜尖长方积仅

    多辛壬坤一小勾股积则

    借乙辛箕三角积为与乙

    兑氐勾股积相等亦可也

    由此推之逐度之正?余

    ?所成之勾股虽非正方

    而斜?不改则各数比例

    皆同试自与丙丑平行之

    乙癸线所截之癸?作癸

    未正?癸斗余?又依乙

    戊小径截乙癸线于牛作

    牛女牛虚二线又依甲乙

    两心差截乙癸线于水作

    水火水金二线皆相平行

    则于斗癸未乙长方形内

    减去女牛虚乙长方形余

    斗癸未虚牛女磬折形积

    亦与金水火乙长方积等

    乙水火勾股积亦与斗癸

    牛女斜尖长方积等而癸

    午倍撱圆差乗癸斗余?

    【与乙未等】折半之乙癸午三角

    积原与斗癸子女长方积

    等【癸子为撱圆差癸午为倍差与癸斗余?相乗

    折半得乙癸午积故与斗癸子女长方积等】比

    斗癸牛女斜尖长方积仅

    多癸牛子一小勾股积则

    借乙癸午积为亦与乙水

    火勾股积等而甲乙土勾

    股与乙水火勾股为相等

    形【同用一乙角土角与火角同为直角而甲乙与

    乙水等故三边及面积皆相等】比甲乙巳

    积仅多甲巳土一小弧矢

    积其差只在微纎之间故

    谓甲乙巳积与乙癸午积

    相等也此法所得实行较

    前法多百分秒之二十四

    盖乙卯丁积比乙壬丁积

    多乙卯壬积实与甲乙土

    积等而比甲丑丁积仅多

    甲乙巳积则是甲丑丁积

    比乙壬丁四十五度积为

    稍大故所得实行丑甲丁

    角亦稍大计其所大之数

    适与甲巳土弧矢积度相

    去不逺至于以乙癸午三

    角积为与斗癸牛女斜尖

    长方积等其数微多【多癸牛子

    勾股积】以癸午为倍撱圆差

    其数微少然其多少之差

    约足相抵可不计也

    又如太阳平行距最卑后

    九十度求实行若干度分

    先从本天心设丁乙戊角

    九十度则乙戊丁分撱圆

    面积亦为九十度次与乙

    戊平行作丙癸线自甲至

    癸作甲癸线则丙角与戊

    乙丁角等而甲癸丁分撱

    圆面积即为九十度与乙

    戊丁积等【九十度无撱圆差觧见后】是

    为平行癸甲丁角即为实

    行乃?丙癸线引长至子

    使癸子与甲癸等则丙子

    为二千万又自甲至子作

    甲子线成甲丙子三角形

    求得子角五十八分五秒

    【小余五五】倍之得一度五十六

    分一十一秒【小余一○】即甲丙

    癸形之癸角度与丙角九

    十度相加得九十一度五

    十六分一十一秒【小余一○】为

    癸甲丁角度即平行距最

    卑后九十度时之实行度

    也盖乙戊丁为撱圆四分

    之一其积为九十度戊乙

    丁角亦九十度【积度与角度同为一

    线故无撱圆差】丙角既与乙角等

    甲癸丁积又与乙戊丁积

    等【甲癸丁积比乙戊丁积多一丑癸戊形少一甲

    乙丑形而甲乙丑积与丑癸寅积等是丑癸戊形比

    甲乙丑形仅多癸戊寅一小弧矢积故谓丑癸戊积

    与甲乙丑积等而甲癸丁积亦谓与乙戊丁积等】故即以平行积度为丙角

    而求甲角为实行度也此

    法所得实行较前法多百

    分秒之六十七盖甲癸丁

    积比乙戊丁积多癸戊寅

    弧矢积九十度稍大故实

    行亦稍大又丙角至九十

    度则弧矢之癸寅半?与

    甲乙两心差相等是为最

    长积亦最大故所差最多

    过此则所差又渐少矣

    又如太阳平行距最卑后

    一百二十度求实行若干

    度分先从本天心设丁乙

    癸角一百二十度则乙子

    丁分撱圆面积亦为一百

    二十度次将丁乙癸角减

    丑乙寅撱圆差角【九十度以外小

    一撱圆差角故减】则癸乙已外角

    大一撱圆差角以撱圆小

    半径九九九八五七一【小余

    八五】为一率大半径一千万

    为二率所设癸乙已外角

    六十度之正切一七三二

    ○五○八为三率求得四

    率一七三二二九八一【小余

    九八】为己乙寅外角之正切

    检表得六十度○分一十

    二秒【小余七六】即己乙寅外角

    度与一百八十度相减余

    一百一十九度五十九分

    四十七秒【小余二四】即寅乙丁

    内角度次与乙寅平行作

    丙卯线自甲作甲卯线则

    丙角与寅乙丁角等甲卯

    丁积为分撱圆一百二十

    度之面积与乙子丁积等

    是为平行卯甲丁角即为

    实行乃将丙卯线引长至

    辰使卯辰与甲卯等则丙

    辰为二千万又自甲至辰

    作甲辰线成甲丙辰三角

    形求得辰角四十九分五

    十三秒【小余四六】倍之得一度

    三十九分四十六秒【小余九二】即甲丙卯形之卯角度与

    丙内角一百一十九度五

    十九分四十七秒【小余二四】相

    加得一百二十一度三十

    九分三十四秒【小余一六】为卯

    甲丁角度即平行距最卑

    后一百二十度时之实行

    度也盖与丙卯平行之乙

    寅线截本天于巳所截之

    乙巳丁积比甲卯丁积小

    一卯己午形与甲乙未形

    等【乙巳丁积比甲卯丁积少一卯己酉形多一甲

    乙酉形而甲乙酉形与卯午酉形等以多补少仍少

    一卯巳午形又将乙己线引长至未使酉未与酉巳

    等而酉甲原与酉卯等卯午原与甲乙等故作甲未

    弧则卯巳午积即与甲乙未积等】此甲乙

    未形之积与寅申倍撱圆

    差乘乙戌余?折半之乙

    寅申三角形积等【寅丑癸子皆撱

    圆差而癸子微小于寅丑丑申又微小于癸子然为

    数无多故谓寅申为倍差与乙戌余?相乘折半得

    积与甲乙亥勾股积等比甲乙未积仅小甲未亥一

    小弧矢积故借甲乙未积为与乙寅申积等】亦

    即与乙子巳积等【与前法同】夫

    乙巳丁积比乙子丁小一

    乙子巳积比甲卯丁积小

    一甲乙未积甲乙未积既

    与乙子巳积等则甲卯丁

    积必与乙子丁积等而乙

    子丁为分撱圆一百二十

    度之面积癸乙丁角为一

    百二十度之角寅乙丁角

    比癸乙丁角原小一撱圆

    差角卯丙丁角又原与寅

    乙丁角等故于平行一百

    二十度内减一撱圆差角

    为丙角其甲卯线所截撱

    圆积即与平行度相等而

    求得甲角为实行度也此

    法所得实行较之前法多

    百分秒之四十一盖乙巳

    丁积比乙子丁积少乙子

    己积仅与甲乙亥积等而

    比甲卯丁积则少甲乙未

    积是甲卯丁积比乙子丁

    一百二十度积为稍大故

    所得实行卯甲丁角亦稍

    大然所差最大者不过半

    秒有竒不为不密而法最

    为简便故日躔求实行用

    此法也

    求均数

    均数者盈缩差也最卑前后两象限为行盈最髙前后两象限为行缩然盈缩差自最卑最髙起算最髙前一象限虽行缩而实行仍大于平行故最卑后半周皆为加差最卑前一象限虽行盈而实行仍小于平行故最髙后半周皆为减差上编言之详矣今求盈缩差用前借角求角之法与不同心天之法畧同但多一撱圆差耳故先以平行求得对倍两心差之角又以平行求得撱圆差角与对倍两心差之角相加减而得均数加减之法具详于左

    如图甲为地心乙为本天

    心甲乙为两心差甲丙为

    倍差丁戊己庚为本天辛

    壬癸子为黄道以行度言

    之太阳在最卑前后当子

    辛辛壬两象限其本天平

    行丑甲寅丁面积未及半

    周而以黄道度计之巳见

    自子行至壬故为行盈太

    阳在最髙前后当壬癸癸

    子两象限其本天平行寅

    甲丑已面积巳过半周而

    以黄道度计之止见自壬

    行至子故为行缩以盈缩

    差言之太阳在最卑丁是

    为初宫初度当黄道之辛

    甲丁辛成一直线无盈缩

    差太阳在最髙已是为六

    宫初度当黄道之癸甲癸

    己成一直线亦无盈缩差

    而自最卑后行丁寅戊巳

    半周实行皆大于平行如

    平行至寅所截甲寅丁平

    行积度畧与寅丙丁角度

    等【争一撱圆差角故谓畧等】自地心甲

    视之巳当黄道之壬壬甲

    辛角必大于寅丙丁角又

    如平行至戊所截之甲戊

    丁平行积度畧与戊丙丁

    角度等自地心甲视之己

    当黄道之卯卯甲辛角必

    大于戊丙丁角故皆为加

    差自最髙后行已庚丑丁

    半周实行皆小于平行如

    平行至庚所截甲庚已平

    行积度畧与庚丙己角度

    等自地心甲视之方当黄

    道之辰辰甲癸角必小于

    庚丙己角又如平行至丑

    所截甲丑巳平行积度畧

    与丑丙巳角度等自地心

    甲视之方当黄道之子子

    甲癸角必小于丑丙已角

    故皆为减差此盈缩之理

    与不同心天之理同至求

    盈缩差之法当先以平行

    积度加减撱圆差角【九十度以

    内大一撱圆差角则加九十度以外小一撱圆差角

    则减正九十度无差角解见前】为所设之

    丙角而求对倍差之角与

    所设之丙角相加得实行

    以平行与实行相减乃为

    均数【解见前借角求角法】然其数竒

    零不便立算故先以平行

    求得对倍差之角而后加

    减撱圆差角为尤便也如

    设太阳在己甲己丁分撱

    圆面积为平行距最卑后

    六十度知己丙甲角度比

    所设之甲己丁平行积度

    大一撱圆差角则于己丙

    甲角内减未丙午撱圆差

    角余午丙甲角必为六十

    度而与甲巳丁平行积度

    相等故先设午丙甲角为

    六十度用甲丙午三角形

    求得对甲丙倍差之午角

    一度四十一分二十九秒

    与平行午丙甲角相加则

    得午甲丁角然太阳原在

    已当黄道之申实行申甲

    辛角【即辛申弧】比午甲丁角尚

    大一巳甲午角故又求得

    未丙午撱圆差角一十三

    秒与巳甲午角等【巳甲午角与未

    丙午角同当巳午弧而甲午线短于丙午则角畧大

    然所差甚微故为相等】与午角相加

    【九十度以内大一撱圆差角故加】得一度

    四十一分四十二秒是为

    均数为加差以加于平行

    而得实行也若太阳在酉

    当黄道之戌甲酉巳分撱

    圆面积爲平行距最高后

    一百二十度而距最卑前

    六十度则对甲丙倍差之

    亥角与午角等干丙亥撱

    圆差角亦与未丙午角等

    但其均数爲减差以减于

    平行而得实行也

    如设太阳在亢甲亢丁分

    撱圆面积爲平行距最卑

    后一百二十度知亢丙甲

    角度比所设之甲亢丁平

    行积度小一撱圆差角则

    于亢丙甲角加房丙氐撱

    圆差角得氐丙甲角必为

    一百二十度而与甲亢丁

    平行积度相等故先设氐

    丙甲角为一百二十度用

    甲丙氐三角形求得对甲

    丙倍差之氐角一度三十

    九分四十七秒与平行氐

    丙甲角相加则得氐甲丁

    角然太阳原在亢当黄道

    之尾实行尾甲辛角【即辛尾弧】比氐甲丁角尚小一氐甲

    亢角故又求得房丙氐撱

    圆差角一十三秒与氐甲

    亢角等【氐甲亢角与房丙氐角同当亢氐弧

    而甲氐线长于丙氐则角畧小然所差甚防故为相

    等】与氐角相减【九十度以外小一撱

    圆差角故减】余一度三十九分

    三十四秒是为均数为加

    差以加于平行而得实行

    也若太阳在斗当黄道之

    牛甲斗己分撱圆面积为

    平行距最高后六十度则

    对甲丙倍差之女角与氐

    角等女丙虚撱圆差角亦

    与房丙氐角等但其均数

    为减差以减于平行而得

    实行也用此法求得最卑

    后半周之加差即得最高

    后半周之减差列爲表此

    法与以丙爲心作不同心

    天之法畧同但多一撱圆

    差又平圆之半径爲一千

    万撱圆则自甲丙两心出

    线合于圆界共爲二千万

    耳而太阳距地高卑之差

    止及两心差之半与均轮

    之法不谋而合故撱圆之

    法正所以合不同心天与

    本轮均轮而一之也

    御制厯象考成后编卷一

    <子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成后编>

    钦定四库全书